Bu projede cebirsel topolojik metodlar olan Lefschetz iz formülü (Lefschetz trace formula) ve Reidemeister burulması (Reidemeister Torsion) kullanılarak 70 yıldır açık bir cebir problemi olan Cartan Determinant Sanısının (Cartan Determinant Conjecture) belli özel durumlar için ispat edilmesi hedeflenmektedir. Verilen sonlu boyutlu bir cebirin Cartan matrisi ve onun determinantı K-teorisi değişmezleri olmalarına ve cebirin temsillerinin üzerinden homolojik olarak ifade edilebilmelerine rağmen şimdiye kadar Euler karakteristiği ya da Lefschetz iz formülü gibi yöntemler bu sanıya olası sonuçlar üretecek araçlar olarak kullanılmamışlardır. Proje kapsamında yapılacak çalışmalar sonunda belli durumlarda Cartan matrisinin logaritmasının izinin bir Lefschetz sayısı olarak yazılacağı öngörülmektedir. Bu şekilde literatürdeki önemli bir açığın kapatılması ve çıkarılacak sonuçların inceleneceği en az bir araştırma makalesi yazılması projenin çıktıları olacaktır. Projenin özgün değeri ise bu konuda uzun süreli ve uluslararası standartlarda çalışabilecek ve yayın yapabilecek bir doktora sonrası araştırıcı eğitilmesi olacaktır
Önerilen projede bir abelyen kategori üzerindeki simpleksel nesneler ve zincir kompleksler arasındaki bir denklik teoremi olan Dold-Kan Teoremi’nin (bkz. [17]) çapraz simpleksel nesneler (bkz. [8]) üzerine bir genişlemesi kanıtlanacaktır. Simplekssel nesneler tabiatı itibarıyla cebirsel ve kombinatorik özelliklere sahiptir (bkz. [18]). Bu da topolojik değişmezlerin hesabını cebirsel ve kombinatorik hesaplara indirgemesi yüzünden simplekssel nesneleri kullanışlı ve önemli kılmaktadır. Ancak simplekssel nesnelerin otomorfizmaları olmaması bu nesneleri oldukça katı kılmakta ve doğal simetri taşıyan kategoriler içindeki simpleksel nesnelerle yapılan hesaplar bile bu simetrileri dışlamak zorunda kalmaktadır. Öte yandan simplekssel nesnelerin genel hali olan çapraz simplekssel nesnelerin tanımları gereği otomorfizmaları olduğundan, bu simetrilerin varlığı çapraz simpleksel nesneleri simplekssel nesnelere göre daha işlevsel kılmaktadır. Bu yüzden çapraz simplekssel nesneler homoloji ve homotopi ile (sonlu) grup temsilleri teorilerini doğal olarak birleştirdikleri için önemlidirler. Standart simpleksel kategoriyi ? ile gösterelim ve elimizde şeklindeki bir çapraz simpleks kategorisi olsun. Verilen bir abelyen kategori için üzerindeki zincir kompleksler kategorisi için , ? kategorisinin içindeki temsilleri için ve ’nin içindeki temsiller kategorisi için de kullanalım. Bu durumda klasik manada Dold-Kan Teoremi üzerindeki ve kategorilerinin birbirlerine denk olduğunu söyler (bkz. [17]). Ancak modern homotopik cebir söyleminde bu teoremin doğru çerçevesi ve üzerindeki Quillen’in model kategorisi yapıları ve bu kategorilerin model kategorik homotopik denklikleridir (bkz. [9]). Proje kapsamında Dold-Kan teoreminin ve arasındaki model kategorik bir homotopik denklik olduğunu gösteren bir biçimi yazılıp ispatlanacak, ardından kategorisi üzerinde bir model kategori yapısı kurulduktan sonra ve için geliştirilen bu teorik alt yapı üzerinde Dold-Kan teoreminin SG(A) kategorisi için genişletilmesi gösterilecek ve ispatlanacaktır. Yine proje kapsamında, projede elde edilecek sonuçlar en az bir araştırma makalesinde incelenerek uluslararası saygın araştırma dergilerinde basılacaktır. Bu sonuçlar ulusal ve uluslarası konferans ve seminerlerde tanıtılacak ve araştırmacıların kullanımına sunulacaktır.
Topolojik Veri Analizi ve Makine Öğrenmesi Algoritmaları Arasındaki İlişkiler
Yurt Dışı Doktora Sonrası Araştırma
-
Claus Michael Ringel’xxin 2014 yazı içinde Türkiye’xxye daveti.